Nato a Ferrara nel 1460, nella sua arte Costa è stato influenzato, se non addirittura formato, da Ercole de’ Roberti, il principale pittore ferrarese della Scuola pittorica di Cosmè Tura del tardo XV secolo. È uno dei primi esponenti della Scuola di Ferrara-Bologna ad adottare uno stile pittorico morbido e d’atmosfera.  

Nel 1483 Costa si stabilisce probabilmente a Bologna, dove lavora fino al 1506, con sporadici soggiorni a Ferrara e a Roma.  

Subito dopo l’espulsione da Bologna della famiglia dei Bentivoglio, nel 1506, è chiamato come pittore di corte a Mantova, per succedere ad Andrea Mantegna. 

Rimane l’artista principale della città fino all’arrivo di Giulio Romano nel 1524, ma poco è rimasto del suo ampio lavoro. Il suo stile maturo richiama spesso quello del Perugino per la sua delicata sensibilità verso il paesaggio; è stato riconosciuto come una delle fonti ispiratrici di Giorgione.  

Le opere più ambiziose sono le pale d’altare eseguite per le Chiese di Bologna. Tra queste c’è la sua prima opera datata, la Pala Bentivoglio del 1488. Le opere successive, come la pala d’altare della Galleria, Madonna col Bambino e Santi, risentono più dell’influenza di Francia e del Perugino.  

Nel 1506 si trasferisce a Mantova come pittore di corte, chiamato da Isabella d’Este; qui si avvicina all’arte di Mantegna. 

L’ultimo dipinto di Costa è La Vergine in trono e santi per la Chiesa di S. Silvestro, firmata e datata dal pittore nel 1525. Quest’opera rappresenta una mirabile sintesi degli ultimi studi dell’artista, che muore a Mantova nel 1535.